Aktualisiert: 2023-03-14
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Maß- und Integrationstheorie
Schlüsselwort: Integrationstheorie
Maß- und Integrationstheorie
Integration und Maß
Dieses Buch soll in die Integrations- und Maßtheorie einführen. Wie ich hoffe, eignet es sich für Studenten zum Gebrauch neben der Vorlesung oder zum Eigenstudium, am besten mit Papier und Bleistift, aber auch für fortgeschrittenere Mathematiker zum Nachschlagen. Vorausgesetzt werden die mathematischen Grundvorlesungen. Gelegentlich benutzte topologische oder funktionalanalytische Tatsachen sind im Anhang zusammen gestellt. In 3.28 werden Ordinalzahlen benutzt, da ich keinen anderen Beweis der dortigen Resultate kenne. Ausgangspunkt der Betrachtungen ist die Integrationstheorie, die auch innerhalb der Maßtheorie immer wieder als Hilfsmittel benutzt wird, was der größeren Durchsichtigkeit und Einfachheit der Darstellung dienen soll. Die Integrationstheorie ist so angelegt, daß vieles auch ohne die Voraussetzung der Verbandseigenschaft gültig bleibt, die Theorie also auch auf Beispiele anwendbar ist, die mit der üblich fOlmulierten Integrationstheorie nicht erfaßt werden können. Jedes Kapitel schließt mit einem Abschnitt "Übungen, Beispiele, Ergänzungen", der als integraler Bestandteil des Ganzen zu sehen ist. Es schien mir manchmal zweckmäßig, der natürlichen Entwicklung gegenüber dem systematischen Autbau den Vorzug zu geben, z. B. indem ein Begriff erst definiert wird, wenn er gebraucht wird, oder indem ein konkretes Beispiel Anlaß zu einer Definition gibt. In einer Vorlesung kann man in dieser Richtung wesentlich weiter gehen, z. B. indem man die Integrationstheorie am Beispiel des elementaren Integrals auf den Treppenfunktionen 1 durchführt, also Lebesgue-L und das Lebesgue-Integral konstruielt und danach feststellt, daß das betrachtete Beispiel schon den allgemeinen Fall enthält, da die gesamte Konstruktion einschließlich der benutzten Beweise auch im allgemeinen Fall gültig bleibt.
Aktualisiert: 2023-01-30
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Maß- und Integrationstheorie
Maß- und Integrationstheorie
Neue Wege in der Integrationstheorie
Angesichts der derzeitigen Situation an der Universitäten, den vielfältigen Belastungen durch Selbstverwaltungsaufgaben und Lehrveranstaltungen, stellt die Anfertigung einer größeren Monographie ein Unterfangen dar, das sich kaum noch realisieren läßt. Das gilt um so mehr, wenn es sich wie im vorliegenden Fall um eine sehr komplexe, gleichzeitig eng mit zwei Teildis ziplinen verbundene Thematik handelt und versucht werden soll, neue Per spektiven aufzuzeigen und neue Anstöße zu geben. Mein besonderer Dank gilt deswegen dem Leiter der Abteilung I - In nen- und EG-Politik, Politische Theorie - des Instituts für Politikwissen schaft der Universität Tübingen, Herrn Prof. Dr. Rudolf Hrbek, der mich zu dem Vorhaben ermuntert und mir im universitären Alltagsbetrieb die not wendigen Freiräume für seine Verwirklichung verschafft hat. Der Arbeitszu sammenhang der Abteilung I hat darüber hinaus aber auch insofern zu der vorliegenden Studie beigetragen, als eine ganze Reihe von in diesem Rahmen entstandenen Arbeiten die empirische Basis für die nachfolgend präsentierten Überlegungen wesentlich verbreitern helfen haben. Dies gilt namentlich für die Magisterarbeiten von Frank und Peter Berg zur Umweltpolitik, Karin Heiniein zur Währungspolitik, Christian Roth zur Sozial- und Jürgen Wagner zur Medienpolitik der EU.
Aktualisiert: 2023-01-23
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Maß- und Integrationstheorie
Differential- und Integralrechnung III
Der dritte und letzte Teil unserer Darstellung der Differential und Integralrechnung ist der Integrationstheorie im. Rn gewidmet. Er ist gedacht für Mathematik- und Physikstudenten des dritten und vierten Semesters. Zum Verständnis wird der Stoff von Band I und ein kleiner Teil des Stoffes von Band II vorausgesetzt. 1. Wir beginnen (in Kap. I) mit dem Lebesgueschen Integral im Rn. Anstelle des sehr speziellen euklidischen Maßes legen wir sogleich allgemeine Radonsche Maße zugrunde und beziehen auf diese Weise das Lebesgue-Stieltjes-Integral und die Integration über das Dirac sche b-Maß in unsere Theorie ein. Um den Umweg über das Rie mannsche Integral zu vermeiden, führen wir Radonsche Maße als (stetige) Linearformen auf einem Vektorraum von Treppenfunk tionen ein, also nicht, wie sonst üblich, auf dem Raum der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger. Natürlich gelangt man auch hierdurch zum üblichen Integralbegriff. in § 2 ist wieder so gefaßt, daß sie Die Definition des Integrals sich unverändert auf allgemeinste Fälle überträgt, z. B. auf Funk tionen mit Werten in einem topologischen Vektorraum V. Selbst verständlich muß V ein lokal-konvexer Hausdorff-Raum sein, wenn man sinnvolle Ergebnisse erwarten will. Iq diesem Fall werden Funk tionsbereiche folgendermaßen erklärt: Es sei W c Rn X V eine offene Menge, so daß für jeden Punkt ~ERn der Durchschnitt ({d X V) n W nichtleer und konvex ist; ferner gebe es eine kompakte Menge KclR,11 mit (Rn - K) X {O} c W.
Aktualisiert: 2023-01-26
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Methoden der Potentialtheorie für Elliptische Differentialgleichungen Beliebiger Ordnung
Die Theorie des NEWToNschen Potentials von Massenverteilungen im Raum ist eines der ältesten Beispiele einer Verbindung von physikalischer Anschauung und mathematischer Interpretation. Bedeutende Mathematiker vieler Generationen, wie C. F. GAUSS, H. POINCARE, D. lIILEERT, N. WIENER haben daran mitgearbeitet. Die Entwicklung der modernen Potentialtheorie ist auch wesentlich durch die Arbeiten von G. C. EVANS, M. RIEsz, O. FBOSTMAN, M. V. KELDYs, M. BRELoT, H. CARTAN, J. DENY, G. CHOQUET, J. L. DooE, H. BAUER, C. CONSTANTINESCU, V. G. MAz 'JA, B. FUGLEDE und anderen bestimmt worden. Historische Darstellungen wurden z. B. in [K6], [A30], [B40] gegeben. Obwohl einige Teile der Potentialtheorie heute als im wesentlichen abgeschlossen gelten, hat sich die Entwicklung in den letzten Jahren wieder erheblich verstärkt, seit sich viele ihrer leistungsfähigen Begriffe und Methoden durch den zunehmenden Einsatz funktionalanalytischer Methoden auf weite Klassen von Problemen aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen anwenden lassen. Daneben sind in der Analysis auch davon unabhängige Bestrebungen von potentialtheoretischem Charakter zu beobachten.
Aktualisiert: 2023-04-01
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Maß- und Integrationstheorie
Integrationstheorie
Maß- und Integrationstheorie
Integrationstheorie und monopolistische Konkurrenz
Anhand von Modellen der neuen Handelstheorie und der neuen Wachstumstheorie arbeitet Volker Letzner Vor- und Nachteile der wirtschaftlichen Integrationsprozesse heraus.
Aktualisiert: 2023-03-14
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Noch mehr Analysis
Dieses Analysis-Buch für Studierende der Mathematik ab dem dritten Semester setzt die Bände „Etwas Analysis“ und „Etwas mehr Analysis" fort. Ausgangspunkt bei diesem Band ist eine anschauliche und leistungsfähige Darstellung der Lebesguetheorie, die auf die recht aufwändige Maßtheorie als Grundlage verzichtet. Es folgen die Transformationsformel mit einem neuen Beweis, die Integration auf Mannigfaltigkeiten mit dem Satz von Stokes und die klassischen Sätze der Vektoranalysis. Daran anschließend werden die wesentlichen Grundlagen der L^p-Räume, die Hilbertraumtheorie der Fourierreihen, die Fouriertransformation und Distributionen behandelt. Den Abschluss bildet eine Einführung in die Funktionentheorie, also die Theorie der differenzierbaren Funktionen in einer komplexen Variablen. Zu jedem Kapitel gibt es zahlreiche Aufgaben, deren vollständige Lösungen auf der Website des Verlages bereit gestellt werden. Auch für weiterführende Vorlesungen der „Höheren Mathematik“ ist dieses Buch eine gute Grundlage, denn es gibt viele Anknüpfungspunkte zu wichtigen Themen wie Partielle Differenzialgleichungen, Funktionalanalysis und Dynamische Systeme.
Aktualisiert: 2023-04-07
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Maß- und Integrationstheorie
Das Lehrbuch vermittelt solides Basiswissen zu den thematischen Schwerpunkten Produktmaße, Fourier-Transformation, Transformationsformel, Konvergenzbegriffe, absolute Stetigkeit und Maße auf topologischen Räumen. Höhepunkte sind die Herleitung des Riesz’schen Darstellungssatzes und der Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Haar’schen Maßes. Der Band enthält ferner mathematikhistorische Ausflüge und Kurzporträts von Mathematikern, die zum Thema des Buchs wichtige Beiträge geliefert haben, sowie zahlreiche Übungsaufgaben zur Vertiefung des Stoffs.
Aktualisiert: 2023-04-01
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Maß und Integral
Allgemeine Maße und das Lebesgue-Integral gehören zu den unverzichtbaren Hilfsmitteln der modernen Analysis, der Funktionalanalysis und der Stochastik. Das vorliegende Lehrbuch bietet eine Einführung in die wesentlichen Aspekte der Theorie – Maße, Integrale, Konvergenzsätze, Parameterintegrale, Satz von Fubini –, die durch weiterführende Themen – allgemeiner Transformationssatz, Satz von Radon-Nikodým, Fouriertransformation von Maßen, topologische Maßtheorie – abgerundet wird. Mehr als 150 Übungsaufgaben (mit vollständigen Lösungen im Internet) vertiefen und erweitern den Stoff. Die kompakte Darstellung bietet sich als Fortsetzung der Grundvorlesungen "Analysis" oder als Einstieg in die "Stochastik" an. Da nur Grundkenntnisse in Analysis und linearer Algebra vorausgesetzt werden, ist der Text auch für Studierende der Physik und Ingenieurswissenschaften sowie zum Selbststudium geeignet. In gleicher Ausstattung erscheinen die Folgebände "Wahrscheinlichkeit" und "Martingale & Prozesse". Lösungen zu den im Buch befindlichen Übungsaufgaben unter: http://www.motapa.de/mint/index.shtml
Aktualisiert: 2023-03-27
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Maß und Integral
Allgemeine Maße und das Lebesgue-Integral gehören zu den unverzichtbaren Hilfsmitteln der modernen Analysis, der Funktionalanalysis und der Stochastik. Das vorliegende Lehrbuch bietet eine Einführung in die wesentlichen Aspekte der Theorie – Maße, Integrale, Konvergenzsätze, Parameterintegrale, Satz von Fubini –, die durch weiterführende Themen – allgemeiner Transformationssatz, Satz von Radon-Nikodým, Fouriertransformation von Maßen, topologische Maßtheorie – abgerundet wird. Mehr als 150 Übungsaufgaben (mit vollständigen Lösungen im Internet) vertiefen und erweitern den Stoff. Die kompakte Darstellung bietet sich als Fortsetzung der Grundvorlesungen "Analysis" oder als Einstieg in die "Stochastik" an. Da nur Grundkenntnisse in Analysis und linearer Algebra vorausgesetzt werden, ist der Text auch für Studierende der Physik und Ingenieurswissenschaften sowie zum Selbststudium geeignet. In gleicher Ausstattung erscheinen die Folgebände "Wahrscheinlichkeit" und "Martingale & Prozesse". Lösungen zu den im Buch befindlichen Übungsaufgaben unter: http://www.motapa.de/mint/index.shtml
Aktualisiert: 2023-03-27
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Regionalismus im südlichen Afrika
Europäische Integration
Dieses erfolgreiche Lehrbuch stellt die Ökonomie in der Europäischen Union im Kontext der rechtlichen, sozialen, politischen und geschichtlichen Zusammenhänge dar. Die Autoren erschließen damit die Komplexität eines historisch einmaligen Projekts – der Europäischen Integration.
Die Neuauflage ist vollständig überarbeitet. Sie geht auf die Krise der Währungsunion ein, die erste ernsthafte Prüfung des europäischen Finanzsystems und damit auch der Euro-Staaten, sowie auf die Bemühungen die Währungsunion zu reformieren. Sie berücksichtigt außerdem die institutionellen Veränderungen und Neuerungen der letzten Jahre. Der Text ist substantiell gekürzt, um den Strukturen und gestrafften Lehrplänen der Bachelor- und Master-Studiengänge entgegenzukommen.
Inhalt
• Integrationstheorie
• Evolution der Europäischen Union
• Prinzipien der Integration: Wirtschaftsordnung und Entscheidungsstrukturen
• Der Gemeinsame Markt und seine politische und rechtliche Unterstützung
• Die EU als Umverteilungsmechanismus
• Die Währungsunion und ihre Reformen
Professor em. Dr. Hans-Jürgen Wagener hat Volkswirtschaftslehre an der Rijksuniversiteit Groningen und der Europa-Universität Viadrina in Frankfurt an der Oder gelehrt.
Professor Dr. Thomas Eger lehrt Recht und Ökonomie an der Universität Hamburg.
Aktualisiert: 2022-07-05
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Maß- und Integrationstheorie
I-XVIII -- Kapitel I Maßtheorie -- § 1. ?-Algebren und ihre Erzeuger -- § 2. Dynkin-Systeme -- § 3. Inhalte, Prämaße, Maße -- § 4. Lebesguesches Prämaß -- § 5. Fortsetzung eines Prämaßes zu einem Maß -- § 6. Lebesgue-Borelsches Maß und Maße auf der Zahlengeraden -- § 7. Meßbare Abbildungen und Bildmaße -- § 8. Abbildungseigenschaften des Lebesgue-Borelschen Maßes -- Kapitel II Integrationstheorie -- § 9. Meßbare numerische Funktionen -- § 10. Elementarfunktionen und ihr Integral -- § 11. Das Integral nichtnegativer meßbarer Funktionen -- § 12. Integrierbarkeit -- § 13. Fast überall bestehende Eigenschaften -- § 14. Die Räume ?p (?) -- § 15. Konvergenzsätze -- § 16. Anwendungen der Konvergenzsätze -- § 17. Maße mit Dichten – Satz von Radon-Nikodym -- § 18* Signierte Maße -- § 19. Integration bezüglich eines Bildmaßes -- § 20. Stochastische Konvergenz -- § 21. Gleichgradige Integrierbarkeit -- Kapitel III Produktmaße -- § 22. Produkte von ?-Algebren und Maßen -- § 23. Produktmaße und Satz von Fubini -- §24. Faltung endlicher Borel-Maße -- Kapitel IV Maße auf topologischen Räumen -- § 25. Borelsche Mengen, Borel- und Radon-Maße -- § 26. Radon-Maße auf polnischen Räumen -- § 27. Eigenschaften lokal-kompakter Räume -- § 28. Konstruktion von Radon-Maßen auf lokal-kompakten Räumen -- § 29. Rieszscher Darstellungssatz -- § 30. Konvergenz von Radon-Maßen -- § 31. Vage Kompaktheit und Metrisierbarkeitsfragen -- Literaturverzeichnis -- Symbol-Verzeichnis -- Sach- und Namenverzeichnis
Aktualisiert: 2023-03-27
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