Die Sprache der Mathematik ist eine formale Sprache, eine Sprache in - mathematischen - Formeln und Symbolen. Nur was sich diesem Formalismus fügt, kann mathematisch auch zum Ausdruck gebracht werden. Mathematischer Erkenntnis sind dadurch Grenzen gesetzt, auch wenn das für gewöhnlich nicht so empfunden wird. Tatsächlich aber ist es so, daß das Verfahren zur Darstellung bzw. Produktion der natürlichen Zahlen nicht formalisierbar im mathematischen Sinne ist. Damit ist das, worauf die ganze Mathematik aufbaut, einer mathematischen Beschreibung und Behandlung nicht zugänglich. Die Mathematik ist sich ihrer eigenen Grundlagen nicht gewahr. Grundlagen, die die so zu nehmen hat, wie sie sind, auch wenn darauf "formal" nicht zugegriffen werden kann. Dieses fehlende Bewußtsein zieht sich durch die ganze Mathematik hindurch. Er trübt, mehr noch, es versperrt dieser Mathematik den Blick auf das, was letztlich "ist".
Aktualisiert: 2020-02-10
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Die Mathematik gilt im modernen Wissenschaftsbetrieb als Inbegriff des Exakten und Präzisen. In dieser Disziplin würde in exemplarischer Weise demonstriert, wie Wissenschaft - am besten - auszusehen hätte. In ihr würde so voraussetzungslos wie nur möglich angefangen, und so konsequent wie nur möglich fortgeschritten. Tatsächlich ist diese Disziplin, so wie sie betrieben wird, auf Sand gebaut. Die Menge der natürlichen Zahlen als der Basis des ganzen Unterfangens wird in der dieser Wissenschaft eigenen theoretischen Grundlegung nicht eingeholt. Das für die Darstellung und die Produktion dieser Menge grundlegende Verfahren wird nicht reflektiert. Weiterreichende Einsichten in die Voraussetzungen ihres Tuns bleiben der Mathematik verschlossen. Dieser Disziplin fehlt so die Begründung. Diese Begründung wird in dem vorliegenden Text nachgereicht.
Aktualisiert: 2020-02-10
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Die Geschichte der Mathematik der Neuzeit ist von der Mengenlehre geprägt. Das ist der Ansatz, der ausnahmslos die ganze Mathematik durchzieht. Was in der Mathematik auch immer an Konzepten entwickelt wird, es wird auf der Basis von Mengen entwickelt. Zahlenmengen bleiben davon nicht ausgenommen. Dabei beruht insbesondere die Menge der natürlichen Zahlen als der Basis menge aller Zahlbereiche und mithin auch als der Grundlage der ganzen Mathematik, nicht auf Mengenbildung sondern auf Reihenfolge.
In der Sprache der natürlichen Zahlen steht Reihenfolge für ein System, in dem sich jedes Element über seine Position im ganzen aller Elemente auch mitzuteilen weiß. Der Begriff der linearen Ordnung, auf der Reihenfolge im athematischen Formalismus zugunsten einer bloßen Kleiner-gleich-Relation reduziert wird, blendet das aus, ganz zu schweigen von der Mengensprache, der so etwas vollkommen fremd ist. Auf Mengenbasis erschließt sich uns die Zahlenwelt, und mit ihr die Mathematik als solche nicht.
Aktualisiert: 2020-02-10
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Unendliches gibt es nicht formal-abstrakt, sondern nur konkret-materiell. Es gibt Unendliches nur als konkretes Verfahren auf einer materiellen Verfahrensbasis, die uns ins Unendliche trägt, wenn wir uns auch ins Unendliche tragen lassen wollen . n→∞ , das ist ein inhaltsleeres Gerede, wenn nicht gesagt wird, wofür n steht. Steht n für die natürlichen Zahlen, so wie sie die Mathematik formal versteht, als Summe beliebiger Anzahlen von Einsen, driftete diese Menge im Unendlichen in unendliche Summen ab, man fiele aus den natürlichen Zahlen als einem System endlicher Zeichenfolgen heraus, der Grenzübergang lim n, n→∞ wäre als solcher nicht definiert, die Mathematik ihrer Grundlage beraubt. Steht n für das System der natürlichen Zahlen als Folge 1, 2, 3, …, sowie dem Verfahrenswerk, das hinter diesem System steht, dann bleibt es auch im Unendlichen bei endlichen Zeichenfolgen. Formal-abstrakt würde auch diese Folge im Unendlichen in Unendliches „ausarten“ Konkret-materiell tut sie es nicht. Formal abstrakt beweisen lässt es sich nicht. Das liegt an der Unendlichkeit des Verfahrens .Letztlich ist es ein Axiom, das Axiom der Mathematik. Die Folge der natürlichen Zahlen ist eine konvergente Folge. Sie konvergiert gegen den Körper der reellen Zahlen R: lim n =R; n -> ∞ .
Aktualisiert: 2020-02-10
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