Entwurf und Analyse nichtlinearer Schaltungen und Systeme mit der selbstkonsistenten Carleman-Linearisierung
Harry Weber
Der Entwurf und die Analyse analoger Schaltungen ist bis heute ein wichtiger Forschungsschwerpunkt. In allen Systemen in denen eine Schnittstelle zu der Umwelt existiert, ist ein Analog-Front-End notwendig. Dabei nehmen die Anforderungen an die jeweiligen Schaltungskomponenten stetig zu. Infolgedessen ist der Entwurfsprozess äußerst langwierig und herausfordernd.
In dieser Arbeit wird mit Hilfe der Carleman-Linearisierung ein Verfahren vorgestellt, das es ermöglicht, einen für den Entwurfsprozess optimierten Startwert zu bestimmen. Die Carleman-Linearisierung wurde in den 1930er Jahren von dem schwedischen Mathematiker Torsten Carleman erstmal erwähnt und wurde im Laufe der Zeit für unterschiedlichste Anwendungsgebiete verwendet. Diese Methode ermöglicht die Zuordnung einer polynomiellen Differentialgleichung zu einem äquivalenten unendlichdimensionalen System von linearen Differentialgleichungen. Um das Verfahren für die Analyse von analogen Schaltungen anwenden zu können, wird in dieser Arbeit zunächst die Methode von Kerner verwendet. Diese erlaubt es, eine Vielzahl von nichtlinearen Differentialgleichungen in eine äquivalente polynomielle Differentialgleichung zu überführen.
Ausgehend von der polynomiellen Differentialgleichung wird die Carleman-Linearisierung genutzt, um ein unendlichdimensionales System von linearen Differentialgleichungen zu erhalten. Allerdings kann keine explizite Lösung für das unendlichdimensionale lineare System angegeben werden. Für eine Näherungslösung erfolgt eine Approximation mit einem endlichdimensionalen linearen System. Dazu wird in dieser Arbeit jedoch nicht die üblich Methode des Abschneidens sondern eine selbstkonsistente Technik entwickelt. Mit Hilfe dieser Erweiterung kann eine analytische Näherungslösung auf einem vorgegebenen Intervall der betrachteten Netzwerkgleichungen bestimmt werden. Hierdurch wird erstmals eine Untersuchung analoger Schaltungen wie beispielsweise Frequenzmischer und Oszillatoren unter Anwendung der Carleman-Linearisierung ermöglicht.
Im letzten Abschnitt dieser Arbeit wird weiterhin die Realisierung der selbstkonsistenten Carleman-Linearisierung mit den aus der Quantenmechanik bekannten Bose-Operatoren beschrieben. Das ermöglicht eine effiziente und schnelle Berechnung des approximativen endlichdimensionalen Systems von linearen Differentialgleichungen.
