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Numerische Lösung partieller Differentialgleichungen auf veränderlichen Oberflächen mit kernbasierten Verfahren

Numerische Lösung partieller Differentialgleichungen auf veränderlichen Oberflächen mit kernbasierten Verfahren von Künemund,  Jens
Die vorliegende Arbeit betrachtet die numerische Lösung von semi-linearen parabolischen partiellen Differentialgleichungen auf glatten, kompakten, geschlossenen, orientierbaren Oberflächen mittels kernbasierter, räumlich gitterfreier Diskretisierungen. Insbesondere werden neben partiellen Differentialgleichungen auf stationären Oberflächen solche auf veränderlichen Oberflächen betrachtet. Dabei kann die Entwicklung der Oberfläche unabhängig oder abhängig von der Lösung der vorliegenden partiellen Differentialgleichung sein. Wie in diesem Zusammenhang üblich, wird zur Trennung der Raum- und Zeitvariablen eine Linienmethode verwendet. Mittels eines kernbasierten, netzfreien Approximationsraums wird das System der partiellen Differentialgleichungen dann zu einem System gewöhnlicher Differentialgleichungen reduziert. Die eigentliche Reduktion erfolgt auf drei verschiedene Ar- ten, durch Kollokation, ein auf schwachen Lösungen basierendes Galerkin- Verfahren und eine Methode namens RBF-FD, die Finite-Differenzen auf unstrukturierten Daten mittels radialer Basisfunktionen nachahmt. Die resultierenden Systeme werden hergeleitet, analysiert und verglichen. Unter anderem wird gezeigt, dass das Kollokationsverfahren als spezifisches Petrov-Galerkin Verfahren gesehen werden kann, was eine theoretische Fehlerbetrachtung für das Kollokationsverfahren erlaubt. Eine Standardfehleranalyse für das Galerkin-Verfahren wird ebenfalls auf die Verwendung kernbasierter Approximationsräume übertragen. Schließlich wird gezeigt, dass das globale RBF-FD Verfahren mit dem Kollokationsverfahren übereinstimmt, sodass die dort abgeleitete Fehleranalyse auch für diese Verfahren Anwendung findet. Dies gilt jedoch nicht für die oft verwendete lokale Version des RBF-FD Verfahrens. Obwohl alle Methoden auf dem gleichen Approximationsraum beruhen, zeigen sie, insbesondere in ihren Umsetzungen, signifikante Unterschiede. So werden etwa beim Galerkin-Verfahren schwache Lösungen der partiellen Differentialgleichungen betrachtet, wozu eine numerische Integration notwendig ist. Diese wird bei den anderen Methoden, die das Problem in seiner starken Formulierung betrachten, nicht benötigt. Daraus ergeben sich – hinsichtlich des notwendigen Aufwands, der Genauigkeit und der Einsatzmöglichkeiten – für jedes Verfahren verschiedene Vor- und Nachteile, welche ebenfalls diskutiert werden.
Aktualisiert: 2019-12-27
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Lineare Funktionalanalysis

Lineare Funktionalanalysis von Alt,  Hans W.
Der Anhang 5 dient zur Vertiefung des Studiums der Sobolev-Räume. Viele der während der Vorlesung gestellten Übungen sind mit Lösungen in das Buch aufgenommen worden, andere als Übungen hinzugenommene Aussagen sind als Ergänzung zum Grundstoff gedacht. Ich glaube daher, daß sich dieses Buch als Grundlage und ebenso als Begleitlektüre zu Vorlesungen über lineare Funktion alanalysis eignet, aber auch als Ergänzungsliteratur zu ~deren Vorlesungen. Besonders zu danken habe ich Eberhard Bänsch und Jürgen Dennert, die durch unzählige Hinweise und Verbesserungsvorschläge zur endgültigen Version des Buches beigetragen haben. Schließlich wäre das Buch nicht entstanden ohne die Arbeit von Angelika Schofer, die das Manuskript mit dem '!EX-System gesetzt hat und der das Buch seine äußere Gestaltung verdankt. Bonn, Juli 1985 H. W. Alt Inhaltsverzeichnis Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •. . . . . . . . . . . . . 1 0. Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0. 1 Topologie - 0. 2 Metrik - 0. 3 Abstand zweier Men gen - 0. 4 Topologie metrischer Räume - 0. 5 Offene und abgeschlossene Mengen - 0. 6 Vollständigkeit - 0. 7 Ver vollständigung - 0. 8 Frechet-Metrik - 0. 9 Norm - 0. 10 Folgenräume - 0. 11 Skalarprodukt Übungen 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ü 0. 5 Hausdorff-Abstand 1. Funktionenräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1. 1 Maße - 1. 2 Meßbare Funktionen - 1. 3 Raum meßbarer Funktionen - 1. 4 Raum beschränkter Funktionen - 1. 5 Stetige Funktionen - 1. 6 Räume stetiger Funktionen - 1. 7 Klassische Funktionenräume - 1. 9 Beispiele von Maßen - 1. 10 Lebesgue-Räume - 1. 12 Hölder-Ungleichung - 1.
Aktualisiert: 2020-01-01
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Partielle Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen von Schweizer,  Ben
Das Buch führt in die Theorie der Partiellen Differentialgleichungen ein, lediglich die Grundvorlesungen der Analysis werden vorausgesetzt. Eine Vielzahl linearer und nichtlinearer Differentialgleichungen wird mit Modellierungsansätzen motiviert und rigoros analysiert. Nach den klassischen linearen Problemen der Potentialtheorie und Wärmeleitung werden insbesondere nichtlineare Probleme aus der Theorie poröser Medien, der Strömungsmechanik und der Festkörpermechanik behandelt. Entlang der Aufgabenstellungen von zunehmender Komplexität werden moderne Methoden und Theorien der Analysis entwickelt.
Aktualisiert: 2019-12-20
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Numerische Mathematik 2

Numerische Mathematik 2 von Quarteroni,  Alfio, Sacco,  Riccardo, Saleri,  Fausto, Tobiska,  Lutz
Numerische Mathematik ist ein zentrales Gebiet der Mathematik, das für vielfältige Anwendungen die Grundlage bildet und das alle Studierenden der Mathematik, Ingenieurwissenschaften, Informatik und Physik kennenlernen.Das vorliegende Lehrbuch ist eine didaktisch exzellente, besonders sorgfältig ausgearbeitete Einführung für Anfänger. Eines der Ziele dieses Buches ist es, die mathematischen Grundlagen der numerischen Methoden zu liefern, ihre grundlegenden theoretischen Eigenschaften (Stabilität, Genauigkeit, Komplexität)zu analysieren, und ihre Leistungsfähigkeit an Beispielen und Gegenbeispielen mittels MATLAB zu demonstrieren. Die besondere Sorgfalt, die den Anwendungen und betreffenden Softwareentwicklungen gewidmet wurde, macht das vorliegende Werk auch für Studenten mit abgeschlossenem Studium, Wissenschaftler und Anwender des wissenschaftlichen Rechnens in vielen Berufsfeldern zu einem unverzichtbaren Arbeitsmittel. Inhalt von Band 2 siehe ToC.
Aktualisiert: 2020-01-01
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Partielle Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen von Schweizer,  Ben
Das Buch führt in die Theorie der Partiellen Differentialgleichungen ein, lediglich die Grundvorlesungen der Analysis werden vorausgesetzt. Eine Vielzahl linearer und nichtlinearer Differentialgleichungen wird mit Modellierungsansätzen motiviert und rigoros analysiert. Nach den klassischen linearen Problemen der Potentialtheorie und Wärmeleitung werden insbesondere nichtlineare Probleme aus der Theorie poröser Medien, der Strömungsmechanik und der Festkörpermechanik behandelt. Entlang der Aufgabenstellungen von zunehmender Komplexität werden moderne Methoden und Theorien der Analysis entwickelt.In der vorliegenden 2. Auflage ist der Text überarbeitet und korrigiert, viele Zeichnungen sind verbessert, Anhang und Index sind erweitert.
Aktualisiert: 2020-01-01
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Lineare Funktionalanalysis

Lineare Funktionalanalysis von Alt,  Hans W.
"Die lineare Funktionalanalysis ist ein weitgehend kanonisiertes Teilgebiet der Mathematik, das in seiner Synthese von Algebra, Topologie und Analysis von großem ästhetischem Reiz ist. Das vorliegende Buch gibt eine geschlossene, geschickt aufgebaute und gut geschriebene Einführung in dieses Gebiet, die auch die erforderlichen Kenntnisse aus der Maßtheorie Äin eigenen AnhängenÜ bereitstellt." ( Das Buch enthält überdies zahlreiche Aufgaben, die meisten mit Lösungen. Es ist besonders geeignet für Leser, die an Anwendungen der Funktionalanalyis auf Differentialgleichungen interessiert sind. Die vorliegende dritte Auflage ist vollständig überarbeitet, basierend auf den Lehrerfahrungen des Autors in den letzten Jahren.
Aktualisiert: 2020-01-01
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