Numerische Lösung partieller Differentialgleichungen auf veränderlichen Oberflächen mit kernbasierten Verfahren

Die vorliegende Arbeit betrachtet die numerische Lösung von semi-linearen parabolischen partiellen Differentialgleichungen auf glatten, kompakten, geschlossenen, orientierbaren Oberflächen mittels kernbasierter, räumlich gitterfreier Diskretisierungen. Insbesondere werden neben partiellen Differentialgleichungen auf stationären Oberflächen solche auf veränderlichen Oberflächen betrachtet.

Dabei kann die Entwicklung der Oberfläche unabhängig oder abhängig von der Lösung der vorliegenden partiellen Differentialgleichung sein. Wie in diesem Zusammenhang üblich, wird zur Trennung der Raum- und Zeitvariablen eine Linienmethode verwendet. Mittels eines kernbasierten, netzfreien Approximationsraums wird das System der partiellen Differentialgleichungen dann zu einem System gewöhnlicher Differentialgleichungen reduziert.

Die eigentliche Reduktion erfolgt auf drei verschiedene Ar- ten, durch Kollokation, ein auf schwachen Lösungen basierendes Galerkin- Verfahren und eine Methode namens RBF-FD, die Finite-Differenzen auf unstrukturierten Daten mittels radialer Basisfunktionen nachahmt. Die resultierenden Systeme werden hergeleitet, analysiert und verglichen.

Unter anderem wird gezeigt, dass das Kollokationsverfahren als spezifisches Petrov-Galerkin Verfahren gesehen werden kann, was eine theoretische Fehlerbetrachtung für das Kollokationsverfahren erlaubt. Eine Standardfehleranalyse für das Galerkin-Verfahren wird ebenfalls auf die Verwendung kernbasierter Approximationsräume übertragen. Schließlich wird gezeigt, dass das globale RBF-FD Verfahren mit dem Kollokationsverfahren übereinstimmt, sodass die dort abgeleitete Fehleranalyse auch für diese Verfahren Anwendung findet. Dies gilt jedoch nicht für die oft verwendete lokale Version des RBF-FD Verfahrens. Obwohl alle Methoden auf dem gleichen Approximationsraum beruhen, zeigen sie, insbesondere in ihren Umsetzungen, signifikante Unterschiede. So werden etwa beim Galerkin-Verfahren schwache Lösungen der partiellen Differentialgleichungen betrachtet, wozu eine numerische Integration notwendig ist. Diese wird bei den anderen Methoden, die das Problem in seiner starken Formulierung betrachten, nicht benötigt. Daraus ergeben sich – hinsichtlich des notwendigen Aufwands, der Genauigkeit und der Einsatzmöglichkeiten – für jedes Verfahren verschiedene Vor- und Nachteile, welche ebenfalls diskutiert werden.