Konforme Abbildungen zur Simulation von Modellen mit verteilten Parametern
Martin Holzinger
Ein charmanter Zugang zur Simulation partieller Differentialgleichungen abseits der etablierten Methode der Finiten Elemente eröffnet sich durch Synthese von konformer Abbildung, CTDS-Linienmethode und einer hochentwickelten Programmierumgebung (Mathematica). Daß der Weg mit der CTDS-Methode prinzipiell zielführend ist, wird zunächst an Hand der Wärmeleitungsgleichung am Einheitsquadrat demonstriert: Die Ergebnisse des präsentierten Simulationscodes werden mit einer berechneten Reihenlösung verglichen, die Approximation der Ortsableitungen erfährt hinsichtlich Konvergenzordnung en passant noch eine wesentliche Erweiterung. Die konforme Abbildung, zur Konstruktion aufgefasst als Punkttransformation und mit Hilfe der Zwischenschaltung des Einheitskreises durch Lösen der Theodorsengleichung anwendbar auf sternförmige Gebiete, leistet als Koordinatentransformation die Parametrisierung zweidimensionaler Gebiete durch das Einheitsquadrat. Die Konstruktionsmöglichkeiten solcher Abbildungen werden in Theorie und Praxis eingehend erörtert. Reisen Sie dann mit in die Welt der Riemann’schen Geometrie mit durchaus überraschenden Ergebnissen. Das abschließende Kapitel sollte Pflichtlektüre für ungegelmäßige Zähneputzer sein!
