Entwurf von Algorithmen zur Berechnung Liouvillescher Lösungen von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen
Felix Ulmer
Die Computer-Algebra ist das Teilgebiet der Informatik, welches sich mit dem Entwurf, der Analyse und der Implementierung von algebraischen Algorithmen befaßt. Bei einem algebraischen Algorithmus werden im Rechner darstellbare, abstrakte mathematische Datentypen symbolisch manipuliert, um ohne Verlust an Genauigkeit und Bedeutung eine, auch im mathematischen Sinne, exakte Lösung zu berechnen. Algebraische Algorithmen können leicht formal spezifiziert werden und ermöglichen zum Teil eine parametrisierte Behandlung des Problems. Im Gegensatz zu numerischen Algorithmen, die oft auf Existenzsätzen beruhen, erfordern algebraische Algorithmen konstruktive Beweise und sind daher mit einem erheblich größeren mathematischen „Aufwand“ verbunden. In diesem Buch werden algebraische Algorithmen entworfen, die geschlossene Lösungsfunktionen, sogenannte Liouvillesche Lösungen, einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung vom Grad n berechnen, oder einen Beweis dafür liefern, daß eine solche Lösung nicht existiert. Die Liouvilleschen Funktionen sind diejenigen Funktionen, die sich mittels einer endlichen Anzahl von Quadraturen und algebraischen Erweiterungen schreiben lassen. Die Klasse der Liouvilleschen Funktionen ist eine sehr große, unter Komposition abgeschlossene Klasse von Funktionen, welche beispielsweise alle algebraischen Funktionen und die „Standardfunktionen“ (cos, sin, log,.) umfaßt. Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen treten bei vielen naturwissenschaftlichen Fragestellungen auf. Symbolische Algorithmen sind hier, schon aufgrund der äußerst schwierigen Fehlerbehandlung numerischer Algorithmen, von großem Interesse.
